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最新人教版九年級數學下冊28.2.2第1課時解直角三角形的簡單應用教案及反思word下載

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發表于 2020-4-2 21:32:48 | 只看該作者 回帖獎勵 |倒序瀏覽 |閱讀模式
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28.2.2  應用舉例

第1課時  解直角三角形的簡單應用

1.通過生活中的實際問題體會銳角三角函數在解題過程中的作用;(重點)
2.能夠把實際問題轉化為數學問題,建立數學模型,并運用解直角三角形求解.(難點)
一、情境導入
為倡導“低碳生活”,人們常選擇以自行車作為代步工具.圖①所示的是一輛自行車的實物圖,圖②是這輛自行車的部分幾何示意圖,其中車架檔AC與CD的長分別為45cm和60cm,且它們互相垂直,座桿CE的長為20cm.點A、C、E在同一條直線上,且∠CAB=75°.
你能求出車架檔AD的長嗎?
二、合作探究
探究點:解直角三角形的簡單應用
【類型一】 求河的寬度
  根據網上消息,益陽市為了改善市區交通狀況,計劃在康富路的北端修建通往資江北岸的新大橋.如圖,新大橋的兩端位于A、B兩點,小張為了測量A、B之間的河寬,在垂直于新大橋AB的直線型道路l上測得如下數據:∠BDA=76.1°,∠BCA=68.2°,CD=82米.求AB的長(精確到0.1米).參考數據:sin76.1°≈0.97,cos76.1°≈0.24,tan76.1°≈4.0;sin68.2°≈0.93,cos68.2°≈0.37,tan68.2°≈2.5.
解析:設AD=xm,則AC=(x+82)m.在Rt△ABC中,根據三角函數得到AB=2.5(x+82)m,在Rt△ABD中,根據三角函數得到AB=4x,依此得到關于x的方程,進一步即可求解.
解:設AD=xm,則AC=(x+82)m.在Rt△ABC中,tan∠BCA=ABAC,∴AB=AC?tan∠BCA=2.5(x+82).在Rt△ABD中,tan∠BDA=ABAD,∴AB=AD?tan∠BDA=4x,∴2.5(x+82)=4x,解得x=4103.∴AB=4x=4×4103≈546.7m.
答:AB的長約為546.7m.
方法總結:解題的關鍵在于構造出直角三角形,通過測量角的度數和測量邊的長度,計算出所要求的物體的高度或長度.
變式訓練:見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練” 第3題
【類型二】 求不可到達的兩點的高度
  如圖,放置在水平桌面上的臺燈的燈臂AB長為30cm,燈罩BC長為20cm,底座厚度為2cm,燈臂與底座構成的∠BAD=60°.使用發現,光線最佳時燈罩BC與水平線所成的角為30°,此時燈罩頂端C到桌面的高度CE是多少(結果精確到0.1cm,參考數據:3≈1.732)?
解析:首先過點B作BF⊥CD于點F,作BG⊥AD于點G,進而求出FC的長,再求出BG的長,即可得出答案.
  解:過點B作BF⊥CD于點F,作BG⊥AD于點G,∴四邊形BFDG是矩形,∴BG=FD.在Rt△BCF中,∠CBF=30°,∴CF=BC?sin30°=20×12=10cm.在Rt△ABG中,∵∠BAG=60°,∴BG=AB?sin60°=30×32=153cm,∴CE=CF+FD+DE=10+153+2=12+153≈38.0(cm).
答:此時燈罩頂端C到桌面的高度CE約是38.0cm.
方法總結:將實際問題抽象為數學問題,畫出平面圖形,構造出直角三角形轉化為解直角三角形問題.
變式訓練:見《學練優》本課時練習“課后鞏固提升”第6題
【類型三】 方案設計類問題
  小鋒家有一塊四邊形形狀的空地(如圖③,四邊形ABCD),其中AD∥BC,BC=1.6m,AD=5.5m,CD=5.2m,∠C=90°,∠A=53°.小鋒的爸爸想買一輛長4.9m,寬1.9m的汽車停放在這塊空地上,讓小鋒算算是否可行.小鋒設計了兩種方案,如圖①和圖②所示.
(1)請你通過計算說明小鋒的兩種設計方案是否合理;
(2)請你利用圖③再設計一種有別于小鋒的可行性方案,并說明理由(參考數據:sin53°=0.8,cos53°=0.6,tan53°=43).
解析:(1)方案1,如圖①所示,在Rt△AGE中,依據正切函數求得AG的長,進而求得DG的長,然后與汽車的寬度比較即可;方案2,如圖②所示,在Rt△ALH中,依據正切函數求得AL的長,進而求得DL的長,然后與汽車的長度比較即可;(2)讓汽車平行于AB停放,如圖③,在Rt△AMN中,依據正弦函數求得AM的長,進而求得DM的長.在Rt△PDM中,依據余弦函數求得PM的長,然后與汽車的長度比較即可.
解:(1)如圖①,在Rt△AGE中,∵∠A=53°,∴AG=EGtan∠A=4.943m≈3.68m,∴DG=AD-AG=5.5-3.68=1.82m<1.9m,故此方案不合理;如圖②,在Rt△ALH中,∵∠A=53°,LH=1.9m,∴AL=LHtan53°=1.943≈1.43m,∴DL=AD-AL=5.5-1.43=4.07m<4.9m,故此方案不合理;
(2)如圖③,過DA上一點M作MN⊥AB于點N,過CD上一點P作PQ⊥AB于點Q,連PM,在Rt△AMN中,∵∠A=53°,MN=1.9m,∴AM=MNsin53°=1.90.8≈2.4,∴DM=5.5-2.4=3.1m.在Rt△PDM中,∵∠PMD=∠A=53°,DM=3.1m,∴PM=DMcos53°=3.10.6≈5.1m>4.9m,故此方案合理.
方法總結:本題主要是利用三角函數解決實際問題,關鍵是把實際問題轉化為解直角三角形的問題,利用三角函數解決問題.
變式訓練:見《學練優》本課時練習“課后鞏固提升”第7題
三、板書設計
1.求河寬和物體的高度;
2.其他應用類問題.

教學反思:
    本節課為了充分發揮學生的主觀能動性,可引導學生通過小組討論,大膽地發表意見,提高學生學習數學的興趣.能夠使學生自己構造實際問題中的直角三角形模型,并通過解直角三角形解決實際問題.
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 樓主| 發表于 2020-4-2 21:33:10 | 只看該作者
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